概率论与数理统计

第六章 数理统计的基本概念

6.1 总体、样本、统计量

• 简单随机抽样的性质

  • 代表性：总体中每个个体都有同等机会被抽入样本，即可以认为样本中的每个都与总体有相同的分布
  • 独立性：样本中每个个体的取值并不影响其他个体的取值，这以为着相互独立

• 常见的统计量，设是从总体中抽取的样本

  • 样本均值：
  • 样本方差：
  • 样本标准差：
  • 样本阶原点矩：
  • 样本中心矩：
  • 极大次序统计量：
  • 极小次序统计量：
  • 一般来说
    • 用样本均值的观测值来近似估计总体均值
    • 用样本方差的观测值；来近似估计总体方差
    • 用样本阶原点矩的观测值来近似估计总体阶矩

6.2 常用统计量的分布

• 标准正态分布

• 分布

  • 分布的定义：设相互独立，且均服从标准正态分布，则称服从自由度为的分布，记为，其密度函数为

    $$\begin{align} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}&x>0\\ 0&x\leqslant0\\ \end{cases} \end{align}$$

  • 分布的性质

    • 可加性：若，且与相互独立，则
    • 若，则

• 分布

  • 分布的定义：设，且与相互独立，则称服从自由度为的分布，记作，密度函数为
  • 分布的性质
    • 这表明当充分大时，自由度为的分布可以近似地看成是标准正态分布
    • 一般地，当时，就可以将分布作为标准正态分布

• 分布

  • 分布的定义：设，且与相互独立，则称服从自由度为的分布，记为，其密度函数为

    $$\begin{align} f(x)= \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})} m^{\frac{m}{2}}n^{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}(m+nx)^{-\frac{m+n}{2}} &x>0\\ 0&x\leqslant0\\ \end{cases} \end{align}$$

  • 分布的性质

    • 若，则
    • 若，则

6.3 正态总体的抽样分布

• 单正态总体的抽样分布定理：设总体，为总体的简单随机样本，样本均值，样本方差，则有
  • ，且与相互独立
• 双正态总体的抽样分布定理：设总体与总体相互独立，与分别为总体与总体的简单随机样本，以分别表示两样本的样本均值与样本方差，则有
  • 若，则，其中

6.4 抽样分布的上分位点

• 标准正态分布分位点的定义：设随机变量，若对，实数满足，则称为标准正态分布的上分位点，由于标准正态分布的密度函数为偶函数，可知
• 分布分位点的定义：设随机变量，若对，实数满足，则称点为的上分位点，易知
• 分布分位点的定义：设随机变量，若对，实数满足，则称点为的上分位点，类似于标准正态分布，有
• 分布分位点的定义：设随机变量，若对，实数满足，则称点为的上分位点，易知
• 几个基本等式：设为一个连续型随机变量，若对，实数满足，则称点为的上分位点
  • $P\{YY_{\alpha/2}\}=\alpha$