概率论与数理统计

第七章 参数的点估计及其优良性

7.1 点估计

• 设总体的分布函数形式已知，其中含有一个未知参数，为了估计参数，首先从总体中抽取样本，然后按照一定的方法苟傲合适的统计量作为的估计量，记为。代入样本观测值，即得到的估计值
• 矩估计法：设总体的分布为，为待估计参数，为来自总体的样本。如果总体的数学期望存在，那么一般来说应为的函数。由于相互独立且与总体同分布，则由大数定律知时，样本均值，依概率收敛于总体均值，于是可令，即，再解次方程求出即可
  • 可以看作是用样本一阶矩完成对总体一阶矩的估计
• 最大似然估计法
  • 似然函数的定义：设为来自总体的简单随机样本，为样本观测值，称为参数的似然函数
  • 似然函数实际上就是样本恰好取观测值（或其邻域）的规律
  • 最大似然估计量的定义：设为参数的似然函数，若存在一个只与样本观测值有关的实数，使得，则称为参数的最大似然估计值，称为参数的最大似然估计量
  • 一般会求对数似然函数来降低计算难度

7.2 点估计优良性的评定标准

• 无偏性
  • 希望估计量在多次试验的结果中，在待估参数的附近摆动，并使得这个估计量的平均值恰好就是待估的参数
  • 若参数的估计量满足，则称为的一个无偏估计量，否则就称为有偏估计量
  • 无偏性是对估计量的基本要求，它具有系统误差为0的特点
• 有效性
  • 设和都是参数的无偏估计量，如果，则称比有效
  • 有效性的定义指明，在期望相等的条件下，方差小者估计的效果更好
• 一致性（相合性）
  • 估计量与样本容量有关，记为，一般来说，当越大，的取值与的误差应越小，即当充分大时，估计量的取值应该稳定在参数的一个充分小的领域内
  • 设是的一个估计量，若对于任意的，有，则称是的一致估计量（相合估计量）