概率论与数理统计

第八章 参数的区间估计与假设检验

8.1 区间估计

• 置信区间的定义：设总体的分布函数为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本，对于给定的，如果由样本确定的两个统计量和满足，则称随机区间是参数的置信度为的置信区间。如果统计量满足，则称是参数的置信度为的单侧置信上限（下限）
• 对于给定的置信度，参数的区间估计的基本思想是：
  • 从正态总体的六个已知的抽样分布（单总体、双总体各三个）中选一个只有含有待估参数而不包含其他未知参数的抽样分布，记为
  • 由于一定是四大分布（）中的一个，所以它的分位点能从表中查到，且必然满足
  • 由于中含有待估参数，所以可从不等式中解出，得到等价的不等式，而就是置信度为的置信区间

8.2 假设检验

• 原假设：，备择假设：，备择假设是原假设的对立假设，和有且仅有一个是正确的
• 双侧检验与单侧检验
  • 形如的假设检验称为双侧检验
  • 形如的假设检验称为右侧检验
  • 形如的假设检验称为左侧检验
• 小概率事件原则是指概率很小的事件在一次试验中不会发生
• 两类错误
  • 第一类错误：弃真，当实际上为真时，检验结果却是拒绝，称之为弃真。犯第一类错误的概率就是显著性水平，即
  • 第二类错误:采伪，当实际上不为真时，检验结果却是接受，称之为采伪。犯第二类错误的概率通常记作，即
  • 犯这两类错误的概率不可能同时减小，通常的做法是在给定犯第一类错误的概率的条件下，尽量减小犯第二类错误的概率
• 假设检验的基本步骤（以双侧检验为例）
  • 根据实际问题提出原假设和备择假设接受
  • 从正态总体的六个已知抽样分布（单总体、双总体各三个）中选一个只含有待检验参数而不包含其他未知参数的抽样分布，记为，并称之为检验统计量
  • 由于一定是四大分布中的一个，所以它的分位点能从表中查到，且必然满足$P\{YY_{\alpha/2}=\alpha\}YY_{\alpha/2}$就是小概率事件，今后称之为拒绝域
  • 由于中没有未知参数，所以将已知数据带入即可把求出
  • 如果$YY_{\alpha/2}H_0H_0$
  • 如果是左侧检验或右侧检验，那么只需要将$P\{YY_{\alpha/2}=\alpha\}P\{YY_\alpha\}=\alphaYY_\alpha$