概率论与数理统计

第三章 二维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量的联合分布与边际分布

• 二维随机变量的定义：设和为两个随机变量，则称有序数组为二维随机变量
• 联合分布函数的定义：设二维随机变量，对任意实数，二元函数称为的联合分布函数
• 分布函数的性质
  • 对或都是非严格单调递增函数
  • 对任意的，
  • 分别对右连续，即
  • 矩形法则：对任何，都有
• 边际分布函数的定义：

3.2 二维离散型随机变量

• 联合分布列的定义：设为二维离散型随机变量，且的可能取值记为，的可能取值记为，则称为二维离散型随机变量的联合分布列
• 联合分布列的性质
  • 非负性：
  • 归一性：
• 联合分布函数的定义：已知的联合分布列为，则称为的联合分布函数
• 边际分布列的定义：设为二维离散型随机变量，其联合分布列为，则称为的边际分布列，称为的边际分布列
• 边际分布列的性质：，同理，
• 二维离散型随机变量的独立性：设为二维离散型随机变量，的可能取值分别为与，如果对任意的，都有，则称与是相互独立的
• 条件分布列的定义：设为二维离散型随机变量，的可能取值分别为与，对任意的，称为已知条件下的条件分布列，称为已知条件下的条件分布列

3.3 二维连续型随机变量

• 联合密度的定义：设为二维随机变量的联合分布函数，若存在非负函数，使得对于任意的，有，则称为二维连续型随机变量，并称为的联合概率密度函数

• 联合密度的性质：

  • 非负性：
  • 归一性：
  • 是二元连续函数
  • 在的连续点处有
  • 二维连续型随机变量在一点和一条线上的概率均为0

• 边际密度的定义：设为而为连续型随机变量，联合密度函数为，称为的边际密度函数，为的边际密度函数

• 二维均匀分布

  $$\begin{align} f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{S_{D}}&(x,y)\in D\\ 0&(x,y)\notin D\\ \end{cases} \end{align}$$

• 二维正态分布：

• 二维连续型随机变量的独立性：设及分别是二维连续型随机变量的分布函数和边缘分布函数，若对于所有的，有或，则称随机变量和是相互独立的

• 二维正态分布独立性：设，则和相互独立的充要条件是

• 条件分布的定义：设是二维连续型随机变量，对，称为给定条件下的条件分布函数，为给定条件下的条件密度函数

3.4 二维随机变量函数的分布

• 泊松分布的可加性：已知与相互独立，且分别服从参数为和的泊松分布，则服从参数为的泊松分布
• 对于，求密度函数，先求的分布函数，然后对求导，就能得到的密度函数。一般地，的分布函数为
• 极大极小分布：设随机变量相互独立，且的分布函数为，，令，那么有（1）的分布函数为（2）的分布函数为，特别地，如果具有相同的分布函数，则