概率论与数理统计知识梳理(二)

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概率论与数理统计

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量及其分布函数

  • 随机变量的定义:设为一个样本空间,若对任意,都有一个实数与之对应,则称为一个随机变量

  • 分布函数的定义:设为一个随机变量,称为随机变量的分布函数

  • 分布函数的性质

    • 的右连续函数,即对
    • 的单调不减函数

2.2 离散型随机变量

  • 分布列的定义:如果随机变量的所有可能取值为一列离散的点,,则称为一个离散型随机变量,并称概率的分布列,可以记作下面的形式

  • 离散型随机变量的分布函数必定为阶梯函数,反之,分布函数为阶梯函数的随机变量必为离散型随机变量

  • 离散型随机函数的分布函数的性质

    • 非负性
    • 归一性
  • 常见的离散型随机变量

    • 二项分布,其中称为分布
    • 泊松分布,其中
    • 泊松逼近定理:
    • 二项分布的极限是泊松分布
    • 几何分布
    • 几何分布的无记忆性:设服从参数为的几何分布,那么对任何正整数,都有
    • 超几何分布,其中

2.3 连续型随机变量

  • 密度函数的定义:设为一个随机变量,如果存在一个可积函数,使得的分布函数满足,则称为一个连续型随机变量,并称的概率密度函数

  • 密度函数的性质

    • 非负性
    • 归一性
    • 由归一性可知,介于密度函数曲线轴之间的图形的面积为
    • 在密度函数的连续点处有,即密度函数为分布函数的导数
    • 如果为连续型随机变量,则
  • 常见的连续型随机变量

    • 均匀分布

    • 指数分布

    • 指数分布的无记忆性

    • 几何分布可以看作是第一次命中的等待时间,指数分布可以看作是等待某个事件首次发生的等待时间

    • 正态分布

    • 标准正态分布

2.4 随机变量函数的分布

  • 离散型随机变量的分布列

    • 是离散型随机变量,其分布列为且有,则的分布列为其中,若中的值有相等的,则应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率相加
  • 为连续型随机变量,已知的密度函数为,若也为连续型随机变量,则求的密度函数的一般步骤为

    • 根据,由的取值范围,确定的取值范围
    • 内求的分布函数,此分布函数是一个积分函数形式
    • 的分布函数求导,即得的密度函数
  • 反函数的密度函数:设连续型随机变量的密度函数为是一严格单调函数,且具有一阶连续导数,的反函数。则的密度函数为

  • 正态分布的可加性:设随机变量,则有

    线性交换不改变正态分布的分布形式

    时,服从标准正态分布

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