概率论与数理统计

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量及其分布函数

• 随机变量的定义：设为一个样本空间，若对任意，都有一个实数与之对应，则称为一个随机变量

• 分布函数的定义：设为一个随机变量，称为随机变量的分布函数

• 分布函数的性质

  • 为的右连续函数，即对
  • 为的单调不减函数

2.2 离散型随机变量

• 分布列的定义：如果随机变量的所有可能取值为一列离散的点，，则称为一个离散型随机变量，并称概率为的分布列，可以记作下面的形式

  $$\begin{align} X\sim \left(\begin {array}{c} x_1&x_2&x_3&...\\ p_1&p_2&p_3&...\\ \end{array}\right) \end{align}$$

• 离散型随机变量的分布函数必定为阶梯函数，反之，分布函数为阶梯函数的随机变量必为离散型随机变量

• 离散型随机函数的分布函数的性质

  • 非负性：
  • 归一性：

• 常见的离散型随机变量

  • 二项分布：，其中，称为分布
  • 泊松分布：，其中
  • 泊松逼近定理：
  • 二项分布的极限是泊松分布
  • 几何分布：
  • 几何分布的无记忆性：设服从参数为的几何分布，那么对任何正整数，都有
  • 超几何分布：，其中

2.3 连续型随机变量

• 密度函数的定义：设为一个随机变量，如果存在一个可积函数，使得的分布函数满足，则称为一个连续型随机变量，并称为的概率密度函数

• 密度函数的性质

  • 非负性：
  • 归一性：
  • 由归一性可知，介于密度函数曲线与轴之间的图形的面积为
  • 在密度函数的连续点处有，即密度函数为分布函数的导数
  • 如果为连续型随机变量，则

• 常见的连续型随机变量

  • 均匀分布：

    $$\begin{align} &X\sim U(a,b)\Rightarrow\\ &密度函数：f(x)= \begin {cases} \frac{1}{b-a}&a<x<b\\ 0&其他\\ \end{cases}\\\\ &分布函数：F(x)= \begin{cases} 0&x<a\\ \frac{x-a}{b-a}&a\leqslant x<b\\ 1&b\leqslant x \end{cases} \end{align}$$

  • 指数分布：

    $$\begin{align} &X\sim E(\lambda)\Rightarrow\\ &密度函数：f(x)= \begin {cases} \lambda e^{-\lambda x}&0<x\\ 0&x\leqslant0\\ \end{cases}\\\\ &分布函数：F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}&0<x\\ 0&x\leqslant0\\ \end{cases} \end{align}$$

  • 指数分布的无记忆性：

  • 几何分布可以看作是第一次命中的等待时间，指数分布可以看作是等待某个事件首次发生的等待时间

  • 正态分布

    $$\begin{align} &X\sim N(\mu,{\sigma}^2)\Rightarrow\\ &密度函数：f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}&x\in R\\ &分布函数：F(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int^x_{-\infty}{e^{\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt} \end{align}$$

  • 标准正态分布：

    $$\begin{align} &X\sim N(0,1)\Rightarrow\\ &密度函数：\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}&x\in R\\ &分布函数：\Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{x}_{-\infty}{e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}\\ &显然有\Phi(0)=\frac{1}{2},\Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{align}$$

2.4 随机变量函数的分布

• 离散型随机变量的分布列

  • 若是离散型随机变量，其分布列为 $$\begin{align} X\sim \left(\begin {array}{c} x_1&x_2&x_3&...\\ p_1&p_2&p_3&...\\ \end{array}\right) \end{align}$$ 且有，则的分布列为 $$\begin{align} Y\sim \left(\begin {array}{c} g(x_1)&g(x_2)&g(x_3)&...\\ p_1&p_2&p_3&...\\ \end{array}\right) \end{align}$$ 其中，若中的值有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加

• 若为连续型随机变量，已知的密度函数为，若也为连续型随机变量，则求的密度函数的一般步骤为

  • 根据，由的取值范围，确定的取值范围
  • 在内求的分布函数，此分布函数是一个积分函数形式
  • 对的分布函数求导，即得的密度函数

• 反函数的密度函数：设连续型随机变量的密度函数为，是一严格单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数。则的密度函数为

• 正态分布的可加性：设随机变量，则有

  线性交换不改变正态分布的分布形式

  当时，服从标准正态分布