概率论与数理统计知识梳理(二)
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概率论与数理统计
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
随机变量的定义:设
为一个样本空间,若对任意 ,都有一个实数 与之对应,则称 为一个随机变量 分布函数的定义:设
为一个随机变量,称 为随机变量的分布函数 分布函数的性质
为 的右连续函数,即对 为 的单调不减函数
2.2 离散型随机变量
分布列的定义:如果随机变量
的所有可能取值为一列离散的点, ,则称 为一个离散型随机变量,并称概率 为 的分布列,可以记作下面的形式 离散型随机变量的分布函数必定为阶梯函数,反之,分布函数为阶梯函数的随机变量必为离散型随机变量
离散型随机函数的分布函数的性质
- 非负性:
- 归一性:
- 非负性:
常见的离散型随机变量
- 二项分布:
,其中 , 称为 分布 - 泊松分布:
,其中 - 泊松逼近定理:
- 二项分布的极限是泊松分布
- 几何分布:
- 几何分布的无记忆性:设
服从参数为 的几何分布,那么对任何正整数 ,都有 - 超几何分布:
,其中
- 二项分布:
2.3 连续型随机变量
密度函数的定义:设
为一个随机变量,如果存在一个可积函数 ,使得 的分布函数 满足 ,则称 为一个连续型随机变量,并称 为 的概率密度函数 密度函数的性质
- 非负性:
- 归一性:
- 由归一性可知,介于密度函数曲线
与 轴之间的图形的面积为 - 在密度函数
的连续点 处有 ,即密度函数为分布函数的导数 - 如果
为连续型随机变量,则
- 非负性:
常见的连续型随机变量
均匀分布:
指数分布:
指数分布的无记忆性:
几何分布可以看作是第一次命中的等待时间,指数分布可以看作是等待某个事件首次发生的等待时间
正态分布
标准正态分布:
2.4 随机变量函数的分布
离散型随机变量的分布列
- 若
是离散型随机变量,其分布列为且有 ,则 的分布列为其中,若 中的值有相等的,则应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率 相加
- 若
若
为连续型随机变量,已知 的密度函数为 ,若 也为连续型随机变量,则求 的密度函数的一般步骤为 - 根据
,由 的取值范围,确定 的取值范围 - 在
内求 的分布函数 ,此分布函数是一个积分函数形式 - 对
的分布函数 求导,即得 的密度函数
- 根据
反函数的密度函数:设连续型随机变量
的密度函数为 , 是一严格单调函数,且具有一阶连续导数, 是 的反函数。则 的密度函数为 正态分布的可加性:设随机变量
,则有 线性交换不改变正态分布的分布形式
当
时, 服从标准正态分布
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