概率论与数理统计

第一章 概率论的基本概念

1.1 随机事件及其运算

• 随机现象（随机事件）的特征
  • 该试验可在相同条件下重复进行
  • 所有可能出现的结果是已知的
  • 试验之前不可预知哪个结果会出现

• 以表示随机试验的所有可能结果组成的集合，并称之为随机试验对应的样本空间，的元素称为样本点，即样本点就是可能结果

• 随机事件对应的样本空间的子集称为随机试验的随机事件

• 事件的包含与相等

  • 若事件的每一个样本点都包含在事件中，则称事件包含事件，记作。

  • 若且，则称事件与相等，记为

• 和事件

  • 与的和事件记作或

• 积事件

  • 与的积事件记作或

• 差事件

  • 与的差事件记作，发生的充要条件为发生而不发生

• 补事件

  • 设为随机事件，称为事件的补事件

• 互不相容

  • 若，则称与互不相容，或互斥

• 事件运算原则

  • 交换率：
  • 结合律：
  • 分配率：
  • 德摩根率：

1.2 概率的定义及其基本性质

• 频率的定义
  • 设是随机试验，是它的样本空间，为的一个事件，将试验重复进行次，其中事件发生了次，则称为发生的频率，记作

• 频率的性质

  • 非负性：
  • 归一性：
  • 有限可加性：若为两两互不相容的事件，则有

• 频率是概率的统计学定义

• 概率的定义

  • 非负性：
  • 归一性：
  • 可加性：若为两两互不相容的事件，则有

• 概率的性质

  • 有限可加性：若为两两互不相容的事件，则有
  • 若，则
  • 减法公式：
  • 加法公式：

1.3 等可能概型（古典概型与几何概型）

• 古典概型的定义

  • 样本空间中的样本点总数是有限的
  • 每个样本点出现的可能性相同

• 三种取法，设有个不同的球，要从中取个球（）

  • 第一种取法：可重复或者有放回：样本点总数为
  • 第二种取法：不放回但与次序无关：样本点总数为
  • 第三种取法：不放回且与次序有关：样本点总数为

• 分房问题：将个人随机分到个房间去（），每个人分到哪个房间是等可能的，且假设每个房间可容纳的人数没有限制，（1）求某个指定的房间恰有个人的概率，（2）求每两个人都不在同一个房间的概率

  • （1）
  • （2）

• 抽签问题：设有个人一起抽签，但只有个签（），求第个人抽到签的概率（）

  • 先抽后抽的概率是一样的，感觉上的不同是由于条件概率的存在

• 分组法：将个不同的球分成个不同的组，使得这个组各有个球，，问共有多少种分法

• 几何概型：在一个面积为的平面区域中等可能地任意投点，设，为比例系数，则有可得，所以

• 会面问题：两人相约点到点在某地会面，先到者等候另一人，过时就离开，求这两人能会面的概率

  • 以分别表示两个人的到达时刻，则会面的充要条件是，可以参考下图求出
  • 

1.4 条件概率

• 条件概率的定义：在事件发生的条件下，事件发生的概率，记作

• 条件概率的性质

  • 非负性：对任意事件，有
  • 归一性：
  • 可列可加性：对任意一列两两互不相容的事件，有

• 乘法公式：若，则

• 抽签问题（续）：设有个签，只有个人可以中奖，求第个人抽到签的概率（）

  • $$\begin{align} P(A)&=P(A_{1}A_{2}...A_{k-1}A_{k})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})...P(A_{k}|A_{1}A_{2}...A_{k-1})\\ &=\frac{n-1}{n}\times\frac{n-2}{n-1}\times\frac{n-3}{n-2}\times...\times\frac{n-k+1}{n-k+2}\times\frac{1}{n-k+1}\\ &=\frac{1}{n}\\ \end{align}$$

• 划分的定义：设为一组事件，满足（1），（2），则称为的一个划分

• 全概率公式：设为的一个划分，则对任意的事件，有
• 使用全概率公式的情况
  • （1）随机试验可以分为两个相互影响的阶段
  • （2）第一阶段所有可能结果已知
  • （3）所求概率为第二阶段结果之概率
• 贝叶斯公式：设是的一个划分，若，则对任意事件，只要，就有

1.5 独立性与伯努利试验

• 事件与独立的等价条件是
• 事件与独立的性质
  • 若，则
  • 在这四对事件中，若有一对独立，则其他三对也独立
• 重伯努利试验的定义：如果试验只有两个可能的结果：及，且。把试验重复做次构成一个试验，用表示，。这个试验称为重伯努利试验
• 推广：在次独立重复试验中，若事件，在每次试验中发生的概率均为，那么在这次试验中恰好发生次的概率为，其中